分酒类问题(2)
称球问题
称球问题是最经典的一道趣味数学题目,经常出现于各种智力游戏及智力测试
中,最常见的题目如下所示:
12个球中,有一个重量与其他的11个不同,但不知道是重还是轻。给你一个天
平,只许称3 次把这个不标准的球找出来,应该怎么称呢?
分析与解答
首先强调说明两点:
(1 )不规则的球不知是轻还是重,一共12个球,因此最后必定是24种可能。
(2 )任何时候如果天平相等,那么天平上的球都是标准球,可以作为后续参
考球。如果天平不相等,下次称的时候将其中的一部分球交换位置天平保持不变,
那么交换的球都是标准球,反之如果天平发生变化则不标准球就在交换的球之中。
为了使读者查看方便,12个球用1~12(数字)进行标识,其中已确定是标准球
的号码加括号注明:
第一次{1+2+3+4} 比较{5+6+7+8}
如果相等,第二次{9+10}比较{ (1 )+11}
如果相等,证明是12球不规则,第三次和任意球比较,12或者重或者轻两种可
能
如果{9+10}>{(1 )+11}
第三次9 比较10,如果9>10并且{9+10}>{(1 )+11}证明是9 重
同理如果910 并且{9+10}{5+6+7+8}
第二次{1+2+5} 比较{3+6+ (9 )} (关键把其中3 ,5 球的位置交换)
如果相等,证明1 ,2 ,3 ,5 ,6 为规则球,不规则球在4 ,7 ,8 中(见
说明2 )
第三次7 比较8 ,如果7=8 并且{1+2+3+4}>{5+6+7+8} 证明是4 重
如果78,证明是8 轻
如果{1+2+5}>{3+6+ (9 )}
证明3 ,5 ,4 ,7 ,8 为规则球,不规则球在1 ,2 ,6 中
第三次1 比较2 ,如果1=2 并且{1+2+5}>{3+6+ (9 )} 证明是6 轻
如果1>2 ,证明是1 重
如果13不可能,因为已经有第一次{1+2+3+4}>{5+6+7+8}
这样刚好也是8 种可能。
同样道理,{1+2+3+4}12 ,证明是12轻
如果1{(1 )+ (2 )+ (3 )} ,则说明不标准球在9 ,10,11中且为重
第三次9 比较10,如果9=10,证明是11重
如果910 ,证明是9 重
如果{9+10+11}10 ,证明是10轻
如果{1+2+3+4}>{5+6+7+8}
第二次{1+2+3+5} 比较{4+ (9 )+ (10)+ (11)}
如果相等,证明不规则球在6 ,7 ,8 中且为轻
第三次6 比较7 如果6=7 证明是8 轻
如果67,证明是7 轻
如果{1+2+3+5}>{4+ (9 )+ (10)+ (11)}
证明不规则球在1 ,2 ,3 中且为重
第三次1 比较2 ,如果1=2 证明是3 重
如果1>2 ,证明是1 重
如果14的情况不成立
同样{1+2+3+4}
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